Теорема множення ймовірностей  

Теорема множення ймовірностей

Теорема множення ймовірностей формулюється в такий спосіб.

Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену за умови, що перша мала місце

. (12)

Доведемо теорему множення для схеми випадків.

Нехай можливі наслідки досліду зводяться до випадків. Припустимо, що події сприяє випадків, а події сприяє випадків. Події не припускаються несумісними, тому взагалі існують випадки, сприятливі й події , й події разом. Нехай число таких випадків , тоді

Обчислимо умовну ймовірність події в припущенні, що подія мала місце. Якщо відомо, що подія відбулася, то з раніше можливих випадків залишаються можливими тільки ті , які сприятливі події . З них випадків сприятливі події . Отже,

Підставляючи вирази й у формулу (12), одержимо тотожність. Теорему доведено.

Очевидно, при доказі теореми множення не принципово, яке з подій і вважати першим, а яке другим, тому результат може бути записаний і в такому вигляді

.

Наслідки, що випливають із теореми множення.

Наслідок 1. Якщо подія не залежить від події , то й подія не залежить від події .

Наслідок 2. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

.

Наслідок 2 безпосередньо випливає з визначення незалежних подій, коли .

Теорема множення ймовірностей може бути узагальнена на випадок довільного числа подій. У загальному вигляді вона формулюється так.

Ймовірність добутку декількох подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється за умови, що всі попередні мали місце. Так, для чотирьох подій.

.

Приклад. Два диспетчери незалежно друг від друга передають на борт повітряного судна повідомлення в умовах завад. Імовірність прийому повідомлення від першого диспетчера становить 0,5, від другого – 0,6.

Знайти ймовірність прийому повідомлень одночасно від двох диспетчерів.

Нехай подія прийом повідомлень від двох диспетчерів, подія прийом повідомлення від першого диспетчера, подія прийом повідомлення від другого диспетчера. Тоді , причому й незалежні події. Тому



0,3.

Приклад. З партії, що містить справних і бракованих транзисторів, вилучають один за іншим два транзистори.

Знайти ймовірність того, що перший транзистор буде справним, а другий – бракованим.

Нехай подія шукана подія, подія, що складається в тому, що перший вилучений транзистор є справним, подія, що складається в тому, що другий вилучений транзистор є бракованим. Тоді , причому в даній задачі й залежні події. Тому

.


9154782747301194.html
9154940779433045.html
    PR.RU™