Rang( A ) ).  

Rang( A ) ).



Із означення випливають такі властивості рангу матриці.

1. Ранг матриці рівний нулю тільки тоді, якщо матриця нульо-ва. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.

2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох

чисел m і n, тобто 0 ≤ r ≤ min( m ,n ).

3. Для квадратної матриці n-го порядку r = n тільки тоді, як-що матриця невироджена.

4. Якщо r < n то визначник матриці дорівнює нулю.

Розглянемо два методи знаходження рангу матриці.

Перший метод – метод окантування – полягає у наступному. Якщо всі мінори І-го порядку, тобто елементи матриці, рівні нулю, то r = 0 .

Якщо хоч один із мінорів І-го порядку не дорівнює нулю, а всі мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то r = 1 . Аналогічно, якщо мінор 2-го порядку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го порядку. Таким способом знаходять мінор k-го порядку і перевіря-ють, чи не дорівнюють нулю мінори (k+1) -го порядку. Якщо всі мінори ( k + 1 ) -го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці A до-

рівнює числу k . Такі мінори ( k + 1 ) -го порядку, як правило, знахо-

дять шляхом “окантування ” мінора k -го порядку. Приклад 1.Знайти ранг матриці:

− 1 − 3
A = − 6 .
Розв’язування. Всі мінори2-го порядку
М1 = − 1 = 0 , M2 = − 1 − 3 = 0 , M3 = 2 − 3 = 0
− 6 − 6 9
дорівнюють нулю. Значить, ранг матриці A дорівнює одиниці:
r( A ) = 1.
Приклад 2.Знайти ранг матриці:
− 3
− 6
A = − 2
− 6

Розв’язування. Оскільки в матриціAє мінори І-го порядку,відмінні від нуля, то ранг її може бути рівний одиниці. Мінор 2-го порядку





M1 = − 3 = 0 ,
− 6
але, наприклад, мінор − 3
= 21
M2 =
− 6
відмінний від нуля. Окантовуючи мінор М2 ,одержимо мінор3-го
порядку (в матриці A показано пунктиром)
М3 = − 3
− 6 .
Розглянемо мінори 4-го порядку, які окантовують даний мінор М3
− 3
M4 = − 6 2 3 ; M5 = 2 3 ;
− 2
− 6
− 3 − 3
M7 = − 6 ; M8 = 4 − 6 .
− 2 − 2
− 6 − 6

Всі вони дорівнюють нулю, тому, що перший і четвертий ряд-ки пропорційні. Значить ранг матриці A дорівнює 3 ( r = 3 ).

Розглянутий спосіб знаходження рангу матриці не завжди зручний, оскільки потрібно обчислювати велику кількість мінорів.

Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосу-ванні елементарних перетворень матриці при зведенні її до діагона-льного вигляду.

Елементарними перетвореннямиматриці називаються такіоперації:

1) перестановка місцями довільних двох рядків(або стовпців);

2) множення кожного елемента довільного рядка(або стовпця) на відмінне від нуля число;

3) викреслювання рядка (або стовпця) , який містить всі ну-льові елементи;



4) додавання до елементів довільного рядка ( або стовпця) ві-дповідних елементів іншого рядка (або стовпця) , помножених на одне і теж відмінне від нуля число.

При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змі-нюється.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна із них одержується з другої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень. Еквівалентні матриці не рівні між собою, зате вони мають однакові ранги.

Якщо матриці A і B еквівалентні, то це записують так: ⇔ . З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звес-

ти до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості відмінних від нуля діагональних елементів.

Приклад 3.Знайти ранг матриці

A = − 5 0 − 7 .

Розв’язування.

1-й крок. В заданій матриці переставимо перший і другий рядки. На місці елемента а11 маємо елемент рівний 1.

2-й крок. Додамо до елементів другого і третього рядків відпо-відні елементи першого рядка, помножені на “–3”, а до елементів чет-вертого рядка – відповідні елементи першого, помножені на “–5”.

3-й крок. В першому рядку можна автоматично записати всі ну-лі, крім першого елемента “1”. Цього можна добитись, якщо до елеме-нтів 2-го, 3-го, 4-го і 5-го стовпців додати відповідні елементи першого стовпця, помножені відповідно на числа: “–3”,“–3”,“–2”,“–5”.

4-й крок. Додамо до елементів третього і четвертого рядків ві-дповідні елементи другого рядка, помножені на число “–2”.

5-й крок. В другому рядку на місці елементів “–7”,“–3”,“–11” запишемо нулі (аналогічно як на третьому кроці).

Розглянуті кроки зведення матриці A до діагонального ви-гляду покажемо схематично так:



3 5 2 3 1 3 3 2
1 3 3 2 3 5 2 3
A = 3 1 − 5 0 7 ⇔ 3 1 − 5 0 − 7
5 7 1 4 5 7 1 4
1 3 1 0
⇔ 0 − 4 − 7 − 3 − 11 ⇔ − 4 − 7 − 3 − 11
− 8 − 6 − 8 − 14 − 6
− 22
0 − 8 − 6 0 − 8 − 14 − 6 − 24
1 0 1 0 0 0
⇔ 0 − 4 − 3 − 11 ⇔ 0 − 4 0 0 .
0 0 0 0
0 0
0 0 − 2 − 2

В останній матриці викреслимо третій рядок і третій та четвертий стовпці, які містять всі нульові елементи:

− 4
A ⇔ 0 .
0 − 2
Ранг цієї матриці дорівнює трьом, а значить і ранг матриці A
теж дорівнює 3, тобто r = 3 .
Приклад 4.Знайти ранг матриці:
− 3 − 2
A =
3 4 − 1 − 3 .
− 1
5 − 5

Розв’язування.

1-й крок.Від елементів другого рядка віднімемо відповідні елементи першого і поміняємо їх місцями.

2-й крок.До елементів другого і третього рядків додамо відпо-відні елементи першого, помножені відповідно на “–3” і “–5”.

3-й крок.Запишемо в першому рядку всі нулі, крім першого елемента “1”.

4-й крок. Віднімемо відповідні елементи другого і третього рядків.

5-й крок. Аналогічно, як на 3-му кроці, одержимо в другому рядку нулі на місці елементів “9” і “–7”. Покажемо розглянуті кроки схематично.



5 − 3 − 2 − 2 − 1
A = 3 − 1 − 3 ⇔ 2 − 3 − 2
− 1
5 − 1 3 − 5 5 − 5
1 1 − 2 2 − 1 1 0 0 0
⇔ 0 1 9 − 7 0 ⇔ 0 1 9 − 7
1 9 − 7
0 1 9 − 7 0 0
1 0 1 0
⇔ 0 1 9 − 7 1 0 .

Ранг останньої матриці дорівнює двом, а значить і ранг матриці A дорівнює 2, тобто r = 2.


9151061196217276.html
9151195087352083.html
    PR.RU™